Tarea 2

Pregunta 1

2. 50 observaciones de una \(\mathcal{N}(0,1)\) y otras 50 observaciones de una \(\mathcal{N}(2,1)\). ¿Cómo se verán las 100 caras de Chernoff si \(_X_\) y \(_Y_\) definen la línea de la cara y la oscuridad del cabello?, ¿esperan caras similares?, ¿cuántas caras lucen como oservaciones de \(_Y_\) cuando aún son observaciones de \(_X_\)?

  ind      = matrix(0, ncol = 36)   # define una indicadora para el argumento which.row
  ind[,13] = 1                      # linea derecha de la cara
  ind[,14] = 1                      # oscuridad del cabello lado derecho
  ind[,31] = 1                      # linea izquierda de la cara
  ind[,32] = 1                      # oscuridad izquierda del cabello
  x      = rnorm(50)               
  y      = rnorm(50, mean = 2) 
  z      = t(cbind(t(x),t(y)));    # arma matriz (100x1)
  faces(as.matrix(z[1:50]),ind, main="Observaciones 1 a 50", ncol.plot = 5, nrow.plot = 10) # primeras 50 caras

## effect of variables:
##  modified item       Var   
##  "height of face   " "Var1"
##  "width of face    " "Var1"
##  "structure of face" "Var1"
##  "height of mouth  " "Var1"
##  "width of mouth   " "Var1"
##  "smiling          " "Var1"
##  "height of eyes   " "Var1"
##  "width of eyes    " "Var1"
##  "height of hair   " "Var1"
##  "width of hair   "  "Var1"
##  "style of hair   "  "Var1"
##  "height of nose  "  "Var1"
##  "width of nose   "  "Var1"
##  "width of ear    "  "Var1"
##  "height of ear   "  "Var1"

  faces(as.matrix(z[51:100]),ind, main="Observaciones 51 a 100", ncol.plot = 5, nrow.plot = 10) # primeras 50 caras

## effect of variables:
##  modified item       Var   
##  "height of face   " "Var1"
##  "width of face    " "Var1"
##  "structure of face" "Var1"
##  "height of mouth  " "Var1"
##  "width of mouth   " "Var1"
##  "smiling          " "Var1"
##  "height of eyes   " "Var1"
##  "width of eyes    " "Var1"
##  "height of hair   " "Var1"
##  "width of hair   "  "Var1"
##  "style of hair   "  "Var1"
##  "height of nose  "  "Var1"
##  "width of nose   "  "Var1"
##  "width of ear    "  "Var1"
##  "height of ear   "  "Var1"

##  [1] -0.63709002 -1.55517217  0.97120839  0.25899932  0.62262458
##  [6]  0.88735305  0.84519325 -1.45545610  0.18242179 -0.38505343
## [11] -0.29708418 -0.87640833  1.94051419  1.61181490  1.24085868
## [16] -1.14741563 -0.13287059  0.15123131 -1.65420017 -0.61784681
## [21]  0.61044777 -0.63901666  0.44668333  1.60617987  0.80826290
## [26]  0.54959329  0.78147470  0.40767688 -1.92743791 -1.63081938
## [31] -1.46981445 -0.43132915  0.03896066 -1.35444287  0.22807248
## [36] -0.88071871  0.33247103  0.77120602 -0.48212797 -1.14623617
## [41]  1.02019694  0.42310914  0.80433054  0.76080547  0.56774406
## [46]  0.85727204 -0.21988876 -0.79397466  0.18934862 -1.05086577

##  [1]  3.0882151  2.2798873  2.2752659  4.0571267  0.8423817  2.6949473
##  [7]  2.3832699  1.2253625 -0.2155235  0.8185916  2.4536493  2.0031057
## [13]  2.9490554  2.5933593  2.2162759  3.4064165  1.9195255  3.0370970
## [19]  2.2699174  1.5282019 -0.6730547  2.5954333  3.0287296  2.2045015
## [25]  0.7375079  1.7323372  2.2546905  0.5836871  2.0513613  4.2506394
## [31]  1.5296861  0.4044310  2.0820663  1.8680234  2.5995023  2.5387882
## [37]  2.6384141  4.3536440  2.6024578  2.6840687  2.6300256  2.5174938
## [43]  2.6944678  2.9935385  3.1770656  1.3269875  0.6731204  3.4430816
## [49]  2.6288425  1.9472525

Sí hubo caras similares. Hay 4 payasos en Y comparado con los 3 que hay de X. Hay casi la misma cantidad de caras rojas y cabello verde; hay 4 caras amarillas en Y comparadas con las 10 que hay en X. Las caras rojas son aquellos valores cercanos a 0, mientras que los payasos son los valores más grandes (+/- 3)

3. Consideren los siguientes datos

a. Encuentra la proyección de \(X_1\) sobre 1’=(1,1,1,1,1,1)

  # x1 = Nómina de jugadores
  x1 <- c(3497900,2485475,1782875,1725450,1645575,1469800)

  # Defino al vector de 1 normalizado 
  ones <- rep(1,6)/sqrt(6)
  
  # Definición de proyección de x1 sobre 1
  proy = t(x1) %*% ones %*% ones
  proy

##         [,1]    [,2]    [,3]    [,4]    [,5]    [,6]
## [1,] 2101179 2101179 2101179 2101179 2101179 2101179

b. Calcula el vector desviación. Relaciona su longitud a la desviación estándar.

  # Definición de vector desviación
  vDesv <- x1 - proy
  vDesv

##         [,1]     [,2]      [,3]      [,4]      [,5]      [,6]
## [1,] 1396721 384295.8 -318304.2 -375729.2 -455604.2 -631379.2

  # Desviación estándar
  StanDev <- sd(x1)
  StanDev

## [1] 767752.2

Notemos que el cuadrado de la longitud del vector desviación es igual a \(n\times d^2\) donde d es la desviación estándar

  # Longitud del vector
  norma <- norm(vDesv)
  norma^2

## [1] 1.950829e+12

  6*(StanDev^2)

## [1] 3.536661e+12

c. Grafica (a escala) el triángulo formado por \(y_1\), \(\bar{x}_1\), \(y_1-\bar{x}_1\). Identifica la longitud de cada vector en tu gráfica

  nx1 = norm(x1, type = "2")
  nproy = norm(proy, type = "2")
  nvDesv = norm(vDesv, type = "2")

  
  x = c(0, nproy/nx1, nproy/nx1)
  y = c(0, 0,nvDesv/nx1)
  
  plot(x, y, xlim = c(0,1.1), ylim = c(0, .4))
  arrows(0,0, x1 = nproy/nx1, y1 = 0)
  arrows(0,0, x1 = nproy/nx1, y1 = nvDesv/nx1)
  arrows(nproy/nx1,0, x1 = nproy/nx1, y1 = nvDesv/nx1)
  
  vectores = cbind(x,y)
  text(vectores, labels = c(round(nproy/nx1,3),round(nvDesv/nx1,3),1), adj = c(0,-1))

d. Repetir los incisos (a) a (c) para \(X_2\) a’. Encuentra la proyección de \(X_2\) sobre 1’=(1,1,1,1,1,1)

  # x2 = % de perdidos-ganados
  x2 <- c(0.623,0.593,0.512,0.5,0.463,0.395)
  
  # Definición de proyección de x2 sobre 1
  proy2 = t(x2) %*% ones %*% ones
  proy2

##           [,1]      [,2]      [,3]      [,4]      [,5]      [,6]
## [1,] 0.5143333 0.5143333 0.5143333 0.5143333 0.5143333 0.5143333

b’. Calcula el vector de desviación

  # Definición de vector desviación
  vDesv2 <- x2 - proy2
  vDesv2

##           [,1]       [,2]         [,3]        [,4]        [,5]       [,6]
## [1,] 0.1086667 0.07866667 -0.002333333 -0.01433333 -0.05133333 -0.1193333

  # Desviación estándar
  StanDev2 <- sd(x2)
  StanDev2

## [1] 0.08376555

c’. Grafica (a escala) el triángulo formado por \(y_2\), \(\bar{x}_2\), \(y_2-\bar{x}_2\). Identifica la longitud de cada vector en tu gráfica

  nx2 = norm(x2, type = "2")
  nproy2 = norm(proy2, type = "2")
  nvDesv2 = norm(vDesv2, type = "2")

  
  x = c(0, nproy2/nx2, nproy2/nx2)
  y = c(0, 0,nvDesv2/nx2)
  
  plot(x, y, xlim = c(0,1.1), ylim = c(0, .4))
  arrows(0,0, x1 = nproy2/nx2, y1 = 0)
  arrows(0,0, x1 = nproy2/nx2, y1 = nvDesv2/nx2)
  arrows(nproy2/nx2,0, x1 = nproy2/nx2, y1 = nvDesv2/nx2)
  
  vectores = cbind(x,y)
  text(vectores, labels = c(round(nproy2/nx2,3),round(nvDesv2/nx2,3),1), adj = c(0,-1))

e. Grafica (a escala) los dos vectores desviación \(y_1-\bar{x}_1\) y \(y_2-\bar{x}_2\). Calcula el valor del ángulo entre ellos

f. Calcula la varianza muestral generalizada (vmg) det(S) para estos datos e interpreta

  X <- cbind(x1,x2)                 # Creo la matriz de X1 y X2
  n <- nrow(X)
  uno <- rep(1,n)
  xBar <- t(X) %*% uno / n          # x barra
  H <- diag(n) - uno%*%t(uno) / n   # H
  Sn <- t(X) %*% H %*% X / n        # Sn
  S <- n/(n-1) * Sn
  
  vmg <- det(S)
  vmg

## [1] 844182191

Como la vmg es proporcional al cuadrado del olumen generado por los p vectores de desviación. COmo vmg = 844182191, entonces sabemos que el volumen del elipsoide al cuadrado generado por \(S\), será igual al vmg multiplicado por una constante proveniente de la ecuación del elipsoide correspondiente a \(S\).

g. Calcula la varianza muestral total (vmt) tr(S) para estos datos e interpreta

vmt <- sum(diag(S))
vmt

## [1] 589443426354

Geométricamente, la vmt es la suma de las longitudes al cuadrado de los p vectores de desviación divididos entre n-1; sin embargo, no le presta atención a la orientación de los vectores residuales. Como vmt = 589443426354, entonces sabemos que estas corresponde a la suma de las varrianzas de los p elementos de la matriz.

4. Dibuja las elipsoides sólidas para las tres matrices siguientes y determina los valores de los ejes mayores y menores

5. Archivo del INEGI

a. Configura la matriz X para poder operar con ella

# datos <- read.csv("D:\\ITAM\\Aplicada III\\Tareas\\HW2\\INEGIConstruccion2017.csv", header=FALSE)
datos <- read.csv(".\\INEGIConstruccion2017.csv", header=FALSE)
datos <- datos[-1,]

names(datos) <- as.matrix(datos[1,])    # Tomo primer renglón
datos <- datos[-1,]                     # Elimino el primer renglón
datos[] <- lapply(datos, function(x) type.convert(as.character(x))) # Primera columna names(datos) se vuelve el header

# Datos de enero 2017
datos <- datos %>% filter(Periodo == "2017/01")
head(datos)

datosTotalesNac <- datos[,str_detect(names(datos), "Total nacional")]
# Horas trabajadas (dependiente + no dependiente, o lo mismo que es la suma de los totales por estado)
hrasTrabajadas <- datosTotalesNac %>% select(2,6) #dependiente y no dependiente

# x1: total de horas trabajadas
sumaHorasT <- hrasTrabajadas[,1]+hrasTrabajadas[,2]

#x2: valor total de producción
totalProd <- datos[,str_detect(names(datos), "tipo de obra > Total Total")]

#x3: total de horas trabajadas Dependiente
horasDep <- hrasTrabajadas[,1]

#x4: Obreros Dependiente
obrerosDep <- datosTotalesNac[,str_detect(names(datosTotalesNac), "Obreros")]

#x5: Empleados Dependiente
empDep <- datosTotalesNac[,str_detect(names(datosTotalesNac), "Empleados")]

#x6: Propietarios Dependiente
propDep <- datosTotalesNac[,str_detect(names(datosTotalesNac), "Propietarios")]

#x7: total de horas trabajadas No dependiente
horasNoDep <- hrasTrabajadas[,2]

(X <- c(sumaHorasT, totalProd, horasDep, obrerosDep, empDep, propDep, horasNoDep))

## [1]   129460.750 33007656.590   107742.613    84562.852    21536.763
## [6]     1642.998    21718.137

b. Calcula el vector de medias y la matriz de covarianzas de la matrix X

#Si consideramos la X como descrita arriba, el vector de medias es el mismo que el vector X

Tarea 2

Pregunta 1

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9